J’ai eu l’opportunité de faire de la recherche durant 5 ans l’Université de Rennes 1 à l’IRMAR dans l’équipe de géométrie algébrique effective. Je m’intéressais à des problèmes de classification de certaines variétés abéliennes polarisées et aux conséquences de ces classifications sur des courbes de petit genre (2, 3 et 4).
(publié dans le magazine Mathematics of computation en 2022), Markus Kirschmer, Fabien Narbonne, Christophe Ritzenthaler, Damien Robert.
Dans cet article, nous avons détaillé une équivalence de catégories entre les variétés abéliennes polarisées isogènes à un produit de courbes elliptiques à multiplication complexe définies sur un corps fini et les réseaux hermitiens entiers sur un ordre quadratique imaginaire. Nous avons proposé des algorithmes permettant de classifier ces ordres et nous en avons déduit des résultats d’existence ou non de courbes algébriques de petit genre. Nous avons notamment calculé l’obstruction de Serre, qui est une obstruction à ce qu’une variété abélienne principalement polarisée de dimension 3 descendant sur un corps fini soit rationnellement la jacobienne d’une courbe algébrique. Nous avons aussi calculé l’obstruction de Schottky à ce qu’une variété abélienne principalement polarisée de dimension 4 soit géométriquement la jacobienne d’une courbe algébrique.
(publié dans le Polynesian journal of mathematics en 2024) Fabien Narbonne.
Dans cet article, j’utilise des outils similaires au précédent. Je détaille une nouvelle équivalence de catégories entre certaines variétés abéliennes principalement polarisées sur une clôture algébrique de Q et des réseaux hermitiens entiers. Ceci m’a permis de compléter une classification faite dans l’article suivant. Les auteurs classifient les courbes algébriques définies sur une extension du corps des rationnels Q admettant pour corps des modules Q et ayant une jacobienne isomorphe au carré d’une courbe elliptique à multiplication complexe par un ordre quadratique imaginaire maximal. Dans cet article, j’étends la classification aux courbes dont la jacobienne est isomorphe à un produit de deux ou trois courbes elliptiques à multiplication complexe par un ordre maximal (les courbes elliptiques pouvant être non-isomorphes entre elles). L’article contient une appendice de Francesc Fité et de Xavier Guitart qui permet de compléter la classification en genre 3 (les calculs pour le discriminant -4027 étaient trop long pour aboutir) et permet de s’affranchir de l’hypothèse de Riemann généralisée pour classifier les ordres maximaux pour lesquels il peut exister une courbe ayant pour corps des modules Q.
(soutenue en 2022) Fabien Narbonne.
Dans ma thèse, je développe en détails les outils nécessaires à la compréhension des deux articles ci-dessus. Je propose également une classification heuristique similaire à celle du dernier article au cas où l’ordre quadratique imaginaire n’est pas maximal.